MATEMÁTICA II

RELACIONES BINARIAS

 una relación binaria es una relación matemática  definida entre los elementos de dos conjuntos  y . Una relación  de  en  se puede representar mediante pares ordenados  para los cuales se cumple una propiedad , de forma que , y se anota:

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{\left(a,b\right)\in A\times B\mid {\mathcal {P}}\left(a,b\right)\right\}}$

Que se lee: la relación binaria ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es el conjunto de pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$ pertenecientes al producto cartesiano ${\displaystyle A\times B}$, y para los cuales se cumple la propiedad ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ que los relaciona.

Las proposiciones siguientes son correctas para representar la relación binaria ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ entre los elementos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle a{\mathcal {R}}b\qquad {\mbox{o}}\qquad {\mathcal {R}}(a,b)\qquad {\mbox{o bien}}\qquad (a,b)\in {\mathcal {R}}}$

Son relaciones elemento a elemento entre los elementos de un mismo conjunto. Dados dos elementos a y b pertenecientes ambos al conjunto A, para expresar que a está relacionado con b escribiremos a R b, que se lee “a está relacionado con b”. Así, pues, una relación binaria es una correspondencia entre los elementos de un mismo conjunto.

    La diferencia entre aplicaciones y relaciones binarias está en que las aplicaciones son correspondencias de elementos entre distintos conjuntos y las relaciones binarias, correspondencias entre los elementos de un mismo conjunto.

    Una relación binaria se puede representar mediante:

a) Diagrama de Venn

    Dado el conjunto A = {a, b, c, d} la relación que aparece en el diagrama de Venn indica que: el elemento a está relacionado consigo mismo; el elemento b está relacionado con el c y el c lo está con el d.

    b) Conjunto de pares

    Según esta forma de expresión, la relación binaria del diagrama de Venn anterior sería:

R = {(a, a), (b, c), (c, d)}

    c) Diagramas cartesianos

    La expresión matemática de una relación binaria es:

    x, y C,      x  R  y   (x, y)  R  CC

    En efecto, si se forma el producto cartesiano de un conjunto consigo mismo (CC) una relación binaria será un subconjunto K formado por varios pares, pertenecientes todos ellos al producto cartesiano CC. K es un subconjunto de CC.

Los productos cartesianos aparecen muy frecuentemente en matemáticas.
 Por ejemplo, el plano de los números complejos es R x R, donde R es la recta real, o conjunto de todos los números reales.
La superficie terrestre es producto cartesiano de la circunferencia del ecuador por la del meridiano origen, pues cada punto aparece determinado por el par ordenado (longitud-latitud).
 La superficie lateral de un cilindro puede considerarse como el producto cartesiano de la circunferencia de un círculo (base) por un segmento rectilíneo (generatriz), tomados estos tres elementos –superficie lateral, circunferencia y generatriz– como conjuntos de puntos.

PROPIEDADES DE UNA RELACIÓN BINARIA

---

REFLEXIVA O IDÉNTICA

---

    Se dice que una relación binaria tiene la propiedad reflexiva cuando todos los elementos del conjunto en el que esta definida la relación se relacionan consigo mismos. Es decir, que:

 x, x  C     x R x     (x, x)  K  C  C

que se lee: “Para todo x, siendo x perteneciente al conjunto C, x esta relacionado con x, si y sólo si el par (x, x) pertenece al subconjunto K que está contenido en el producto cartesiano C  C”.

Un conjunto participa de la propiedad reflexiva si y sólo si todos sus elementos están relacionados consigo mismos. Por ejemplo, si en un conjunto de números enteros establecemos la relación binaria "ser de la misma paridad que", esta relación tiene la propiedad reflexiva. En cambio la relación a R b si y sólo si a + b = ab, sólo es reflexiva para el 2 y el 0.

   

Se considera la relación “ser igual a”. Dicha relación tiene la propiedad reflexiva, porque todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismos, ya que:

1 = 1  1R1
2 = 2  2R2
3 = 3  3R3
4 = 4  4R4

   

 Si expresamos esta relación mediante un diagrama de Venn se tendría:

Un conjunto con relaciones entre sus elementos se llama un relativo. Un conjunto con operaciones entre sus elementos recibe, según algunos, la denominación de un álgebra. Tanto las álgebras como los relativos son estructuras. Una estructura es, en suma, un conjunto sobre el que se han definido ciertas relaciones y ciertas leyes de composición, interna o no. Ejemplos particulares de estructuras son las de grupo, anillo, cuerpo y otros conceptos matemáticos.